Modelli resistenza-capacità, un approccio state-space

I modelli resistenza-capacità sono un utile strumento per descrivere la trasmissione di calore negli edifici, e consentono di ottenere una caratterizzazione o previsione sufficientemente accurata dell’andamento del clima interno. Essi rientrano nella categoria grey-box, in quanto utilizzano una combinazione di conoscenza a priori della fisica, rappresentata da un sistema di equazioni differenziali di primo ordine, e di statistica, vale a dire informazione contenuta nei dati.

Descrizione

Una tipica equazione differenziale di primo ordine che rappresenta un modello resistenza-capacità di un edificio è la seguente, riferita a una parete:

C_t,i dT_s,i/dt = H_tr (T_s,e-T_s,i) +  H_o,i (T_i-T_s,i)

dove C_t,i indica la capacità termica della superficie interna, T_s,i la temperatura superficiale interna, H_tr la trasmittanza termica complessiva della parete,  T_s,e la temperatura superficiale esterna, H_o,i la trasmittanza termica complessiva interna, T_i la temperatura interna.

La trasmissione del calore in un edificio viene descritta da un sistema di equazioni di questo tipo, la cui complessità è variabile a seconda del livello di dettaglio della rappresentazione che si desidera ottenere. L’interpretazione dei parametri a sua volta dipende da come l’edificio viene suddiviso in diverse parti all’interno del modello (Bacher e Madsen, 2011). Il modello completo incorpora fonti di energia termica controllabili, come l’impianto di riscaldamento, e non controllabili, come l’irraggiamento solare.

La formulazione state-space si ottiene aggiungendo un termine d’errore stocastico alle equazioni differenziali (che rappresenta l’errore di modello) e una serie di equazioni di misura per ciascuna delle temperature effettivamente osservate, tramite appositi sensori. I coefficienti di capacità e trasmittanza rappresentano i parametri incogniti del modello.

La caratterizzazione di un edificio, a questo punto, può avvenire in tempo reale, tramite l’osservazione di serie storiche di temperature e di variabili di contesto, come la temperatura ambientale esterna e l’irraggiamento solare. L’applicazione di un algoritmo di particle learning (Carvalho et. al, 2010, Martín-Fernández et al, 2014) permette contemporaneamente di stimare i parametri incogniti, valutare le temperature e ottenere previsioni delle medesime per ciascuna specifica sequenza attesa di valori delle variabili di contesto e di azioni di controllo sugli impianti.

Lo scopo ultimo di questo esercizio è quello di valutare politiche di controllo degli impianti volte a ottimizzare il confort degli occupanti minimizzando contemporaneamente il consumo energetico.

 

Campo di applicazione

Gli elementi necessari al controllo degli impianti in un’ottica model-based, sono il modello RC su esposto, una funzione che descriva il Predicted Mean Vote (PMV), un indicatore della sensazione di confortevolezza dell’ambiente, una funzione che misuri il COP di un impianto (coefficient of performance, i kWh elettrici necessari a produrre un kWh termico) al variare delle condizioni di umidità e temperatura. Per alcune applicazioni si vedano Danza et al (2016, 2017).

Bibliografia

P. Bacher & H. Madsen (2011) Identifying suitable models for the heat dynamics of buildings, Energy and Buildings, 43, 1511-1522.

C.M. Carvalho, M.S. Johannes, H.F. Lopes and N.G. Polson (2010) Particle learning and smoothing, Statistical Sciences, 25, 88-106

L. Martín-Fernández, G. Gilioli, E. Lanzarone, J. Míguez, S. Pasquali, F. Ruggeri (2014) A Rao-Blackwellized particle filter for joint parameter estimation and biomass tracking  in a stochastic prey-predator system, Mathematical Biosciences and Engineering, 11, 573-597.

L. Danza, L. Belussi, I. Meroni, F. Salamone, F. Floreani, A. Piccinini, A. Dabusti (2016) A simplified thermal model to control the energy fluxes and to improve the performance of buildings. Energy Procedia, 101, 97-104.

L. Danza, L. Belussi, F. Floreani, I. Meroni  (2018) Application of model predictive control for the optimization of thermo-hygrometric comfort and energy consumption of buildings, Instrumentation, Mesure, Metrologie, 17, 375-391.